Das doppelte Haus des Nikolaus lässt sich tatsächlich nicht in nur einer Linie zeichnen.

Anschaulicher Beweis

Betrachte einen Knotenpunkt in der Figur, durch den noch keine Linie gezeichnet ist.

• Ist dieser Knoten nicht Start- oder Endpunkt, so zeichnet der Stift beim Durchqueren immer sowohl eine eingehende als auch eine ausgehende Linie. (+ 2 Linien)
• Durchquert der Stift den Knoten erneut, so zeichnet der Stift erneut eine eingehende und eine ausgehende Linie (+ 2 Linien), usw.
• Die Zahl der insgesamt an den Knoten anschliessenden Linien (Mathematisch: der Grad des Knotens) ist also gerade (durch zwei teilbar).

Wenn ein Knoten der Start oder der Endpunkt ist, so wird dieser einen ungeraden Grad haben.

Im einfachen Haus des Nikolaus kann man nun sehen, dass Start- und Endpunkt der durchgehenden Linie nur die untersten beiden Ecken sein können, denn nur diese Punkte haben eine ungerade Zahl anschliessender Linien.

Das doppelte Haus des Nikolaus hat vier Verbindungspunkte mit ungeradem Grad. Nur zwei dieser Punkte können die Rolle des Start- und des Endpunktes einnehmen, also müssen die Verbindungslinien der anderen Punkte alle „im Vorbeikommen” gezeichnet werden. Dann hätten diese allerdings eine gerade Anzahl von anschliessenden Linien, das heisst wir können die anderen Punkte mit ungeradem Grad so nicht mehr zeichnen.

Der Nikolaus in Königsberg

Die Problemstellung des Ablaufens solcher Kreise ist auch als Königsberger Brückenproblem bekannt. Leonhard Euler stellte die selbe Überlegung an, um herauszufinden, ob man in der Stadt Königsberg einen Rundgang über alle Brücken unternehmen kann, ohne eine Brücke doppelt zu überqueren.

Leider war das in Königsberg 1736 nicht möglich, aber durch Krieg und Umbauten hat sich die Brückensituation inzwischen hinreichend geändert, dass man zumindest alle Brücken ohne Wiederholung ablaufen kann (allerdings kommt man nicht wieder am Ursprungsort raus).