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\title{Übungen zum \LaTeX-Kurs der Unix-AG}
\author{Klemens Schmitt}
\date{11. Mai 2017}

%%%%%% document-Umgebung %%%%%%
\begin{document}

% Titel einfügen
\maketitle

% Inhaltsverzeichnis einfügen
\tableofcontents

% Seitenumbruch
\newpage

% Abschnitt
\section{Der Mathematik-Modus}

%U Unterabschnitt
\subsection{Kramers-Kronig Relationen (align)}
Sei $\chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i\chi_2(\omega)$ eine komplexe Funktion $\chi: \mathds{C}\rightarrow\mathds{C}$ mit 
$\chi_1(\omega) = \mathfrak{R}(\chi)$ und $\chi_2(\omega) = \mathfrak{I}(\chi)$, deren Polstellen in der unteren komplexen
Halbebene liegen. Dann sind die Kramers-Kronig Relationen gegeben durch
\begin{align}
	\chi_1(\omega) &=\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_2(\omega')}{\omega'-\omega} d\omega'\\
	&\text{und}\nonumber\\
	\chi_2(\omega) &= - \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_1(\omega')}{\omega'-\omega}
	d\omega'\enspace,
\end{align} 
wobei $\mathcal{P}$ das Hauptwert- oder Cauchy-Integral bezeichnet.

%U Unterabschnitt
\subsection{Kramers-Kronig Relationen (alignat)}
Sei $\chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i\chi_2(\omega)$ eine komplexe Funktion $\chi: \mathds{C}\rightarrow\mathds{C}$ mit 
$\chi_1(\omega) = \mathfrak{R}(\chi)$ und $\chi_2(\omega) = \mathfrak{I}(\chi)$, deren Polstellen in der unteren komplexen
Halbebene liegen. Dann sind die Kramers-Kronig Relationen gegeben durch
\begin{alignat}{2}
	\chi_1(\omega) &=&\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_2(\omega')}{\omega'-\omega} d\omega'\\
	&\text{und}&\nonumber\\
	\chi_2(\omega) &=& - \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_1(\omega')}{\omega'-\omega}
	d\omega'\enspace,
\end{alignat}
wobei $\mathcal{P}$ das Hauptwert- oder Cauchy-Integral bezeichnet.

% Unterabschnitt
\subsection{Maxwell Gleichungen}
Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum sind 
\begin{subequations} % Untergleichungen
\begin{align} 
	\vec{\nabla}\cdot\vec{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0},\\
	\vec{\nabla}\cdot\vec{B} &= 0,\\
	\vec{\nabla}\times\vec{E} &= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\text{ und}\\
	\vec{\nabla}\times\vec{B} &= \mu_0\vec{j}+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\enspace.
\end{align} 
\end{subequations}
Dabei bezeichnet $\vec{E}$ die elektrische Feldstärke, $\vec{B}$ die magnetische Flussdichte, $\rho$ die Ladungsdichte, $\vec{j}$
eine elektrische Stromdichte, $\mu_0$ die Permeabilität und $\varepsilon_0$ die Permittivität.

%U Unterabschnitt
\subsection{Greensche Identität}
Die erste Greensche Identität lässt sich so beweisen:
\begin{align}
	\begin{split}
		\int\limits_{\partial U} \phi \frac{\partial\psi}{\partial n} \mathrm{d}S &= \int\limits_{\partial U}(\phi\,\nabla\psi)\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S\\
		&= \int\limits_{U} \nabla\cdot(\phi\,\nabla\psi) \, \mathrm dU\\
		&= \int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}U
	\end{split}
\end{align}

%U Unterabschnitt
\subsection{Satz von Stokes}
Der Satz von Stokes lautet
\begin{align}
	\iint\limits_{\Sigma\,\subset \,\mathbb R^3}\mathrm{rot}(F) \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \oint\limits_{\partial\Sigma} F\cdot\mathrm d r
\end{align}

% Unterabschnitt
\subsection{Beträge}
Beträge von Vektoren und reellen Skalaren können so berechnet werden:
\begin{align}
	\left .
	\begin{aligned}
		\left|\left|
		\begin{pmatrix} % Zeilenvektor
			a_1\\a_2\\a_3
		\end{pmatrix}
		\right|\right| &= \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\\
		|a|	&=
		\begin{cases}
			-a&a< 0\\
			a&a\ge 0
		\end{cases}
	\end{aligned}\right\rbrace\text{Beträge}
\end{align}

% Abschnitt
\section{Grafiken}
In \LaTeX{} kann man auch Grafiken einbinden, z.B. Seite 22 aus dem Vortrag. Die findet man auf der nächsten Seite.
\begin{figure}
	\includegraphics[page=22,width=\textwidth]{latexkurs_2015-3-grundlagen2.pdf}
	\caption{Seite 22 aus dem Vortrag}
\end{figure}
\end{document}
